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如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，，，面，設為中點，點在線段上且．
（1）求證：平面；
（2）設二面角的大小為，若，求的長．

（1）證明詳見解析；（2）2 .

解析試題分析：（1）由已知條件用余弦定理和勾股定理推導出AB⊥AC．又PA⊥面ABCD，以AB，AC，AP分別為x，y，z軸建立坐標系．利用向量法能求出BE∥平面ACF．
（2）分別求出面PCD法向量和面ACF的法向量，由，利用向量法能求出PA的長．
（1）由，得，．
又面，所以以分別為軸建立坐標系如圖．
則   2分
設，則 ．
設，得：．
解得：，，，
所以．                                4分
所以,，．
設面的法向量為，則，取．
因為，且面，所以平面．   6分
（2）設面法向量為，因為，，
所以，取 ．             9分
由，得．
，得，∴，所以．      12分
考點：1.直線與平面平行的證明;2.線段長的求法.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖1，直角梯形中，，，，點為線段上異于的點，且，沿將面折起，使平面平面，如圖2.
（1）求證：平面；
（2）當三棱錐體積最大時，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1C與截面DBC1交于O點，AC，BD交于M點，求證：C1，O，M三點共線．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，平面平面；，，，.
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成的角的正切值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1，D、E分別是棱A1B1、AA1的中點，點F在棱AB上，且．
（1）求證：EF∥平面BDC1；  
（2）求證：平面．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

（12分）（2011•湖北）如圖，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面邊長為2，側棱長為3，點E在側棱AA1上，點F在側棱BB1上，且AE=2，BF=．

（I） 求證：CF⊥C1E；
（II） 求二面角E﹣CF﹣C1的大小．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，，為圓柱的母線，是底面圓的直徑，，分別是，的中點，．
（1）證明：；
（2）證明：；
（3）假設這是個大容器，有條體積可以忽略不計的小魚能在容器的任意地方游弋，如果魚游到四棱錐 內會有被捕的危險，求魚被捕的概率.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，直四棱柱底面直角梯形，∥，，是棱上一點，，，，，.
（1）求直四棱柱的側面積和體積；
（2）求證：平面.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，正方形所在的平面與平面垂直，是和的交點，，且．
（1）求證：平面；
（2）求二面角的大�。�

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