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已知函數數學公式，其中e為自然對數的底數．
（Ⅰ）當a=2時，求曲線數學公式在（1，l：x=1）處的切線與坐標軸圍成的面積；
（Ⅱ）若函數數學公式存在一個極大值點和一個極小值點，且極大值與極小值的積為e5，求a的值．

解：（Ⅰ）求導函數可得：，…（2分）
當a=2時，，，
所以曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=ex-2e，…（4分）
所以切線與x軸，y軸的交點坐標分別為（2，0），（0，-2e），…（5分）
所以所求面積為．…（6分）
（Ⅱ）因為函數f（x）存在一個極大值點和一個極小值點，
所以方程x2-ax+a=0在（0，+∞）內存在兩個不等實根，…（7分）
則，所以a＞4．…（9分）
設x1，x2為函數f（x）的極大值點和極小值點，則x1+x2=a，x1x2=a，…（10分）
因為，所以，…（11分）
即，，
所以ea=e5，解得a=5，
此時f（x）有兩個極值點，所以a=5．…（12分）
分析：（Ⅰ）求導函數，確定曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程，從而可求切線與x軸，y軸的交點坐標，由此可求面積；
（Ⅱ）根據函數f（x）存在一個極大值點和一個極小值點，可得方程x2-ax+a=0在（0，+∞）內存在兩個不等實根，從而可得a的取值范圍；利用極大值與極小值的積為e5，，結合韋達定理，可求a的值．
點評：本題考查導數的幾何意義，考查矩陣的概念，考查韋達定理的運用，正確求導是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•陜西三模）已知a＞0，函數f(x)=
ax
+lnx-1（其中e為自然對數的底數）．
（Ⅰ）求函數f（x）在區間（0，e]上的最小值；
（Ⅱ）設g（x）=x2-2bx+4，當a=1時，若對任意x1∈（0，e），存在x2∈[1，3]，使得f（x1）≥g（x2），求實數b的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•張掖模擬）已知函數f（x）=
1
2
x2+（ae-4）x+2lnx，g（x）=ax（2-lnx）（其中e為自然對數的底數，常數a≠0）．
（1）若對任意x＞0，g（x）≤1恒成立，求正實數a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，當a取最大值時，試討論函數f（x）在區間[
1
e
，e]上的單調性；
（3）求證：對任意的n∈N*，不等式ln
2n
n!
＜
1
12
n3-
5
8
n2+
31
24
n成立．

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科目：高中數學 來源：2013-2014學年江西省七校高三上學期第一次聯考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數，其中a>0.

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）若直線是曲線的切線，求實數a的值；

（Ⅲ）設，求在區間上的最大值（其中e為自然對的底數）。

 

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知a＞0，函數數學公式（其中e為自然對數的底數）．
（Ⅰ）求函數f（x）在區間（0，e]上的最小值；
（Ⅱ）設g（x）=x2-2bx+4，當a=1時，若對任意x1∈（0，e），存在x2∈[1，3]，使得f（x1）≥g（x2），求實數b的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2012年陜西省西安市五校高考數學三模試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

已知a＞0，函數（其中e為自然對數的底數）．
（Ⅰ）求函數f（x）在區間（0，e]上的最小值；
（Ⅱ）設g（x）=x2-2bx+4，當a=1時，若對任意x1∈（0，e），存在x2∈[1，3]，使得f（x1）≥g（x2），求實數b的取值范圍．

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