Question

設函數.
（1）若函數圖像上的點到直線距離的最小值為，求的值；
（2）關于的不等式的解集中的整數恰有3個，求實數的取值范圍；
（3）對于函數定義域上的任意實數，若存在常數，使得和都成立，則稱直線為函數的
“分界線”.設，試探究是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）
（2）
（3）

試題分析：解：(1)因為,得:    2分
則點到直線的距離為
即                  4分
（2）法1：由題意可得不等式恰有三個整數解，
所以                                           6分
令，由
函數的一個零點在區間內，
則另一個零點在區間內                              8分
所以                          10分
法2：恰有三個整數解，所以，即   6分

 
又                                       8分
 
                                       10分
（3）設則
可得，
所以當，
則的圖像在處有公共點              12分
設存在分界線，方程為
由，恒成立，
即化為恒成立
由                                 14分
下面證明，
令
可得
所以恒成立，
即恒成立
 所求分界線為：                            16分
點評：主要是考查了導數在研究函數中的運用，屬于基礎題。