Question

（本小題15分）已知，是實數，方程有兩個實根，，數列滿足，，
(Ⅰ)求數列的通項公式（用，表示）；
(Ⅱ)若，，求的前項和．

Answer 1

,

方法一：
(Ⅰ)由韋達定理知，又，所以
，
整理得
令，則．所以是公比為的等比數列．
數列的首項為：
．
所以，即．所以．
①當時，，，變為．整理得，，．所以，數列成公差為的等差數列，其首項為．所以
．
于是數列的通項公式為
；……………………………………………………………………………5分
②當時，，


．
整理得
，．
所以，數列成公比為的等比數列，其首項為．所以．
于是數列的通項公式為．………………………………………………10分
(Ⅱ)若，，則，此時．由第(Ⅰ)步的結果得，數列的通項公式為，所以，的前項和為


以上兩式相減，整理得
所以．……………………………………………………………………………15分
方法二：
(Ⅰ)由韋達定理知，又，所以
，．
特征方程的兩個根為，．
①當時，通項由，得

解得．故 ．……………………………………………………5分
②當時，通項．由，得

解得，．故
．…………………………………………………………10分
(Ⅱ)同方法一．