Question

在平面直角坐標系中，點P到兩圓C₁與C₂的圓心的距離之和等于4，其中C₁：，C₂：. 設點P的軌跡為．
（1）求C的方程；
（2）設直線與C交于A，B兩點．問k為何值時？此時的值是多少？

Answer 1

(1)   (2)

解析試題分析：
(1) 通過配方把圓和圓的普通方程化為標準方程,得到圓心的坐標,根據橢圓的定義可以判斷C點軌跡為橢圓,其中兩個圓的圓心為焦點可得且橢圓的焦點在y軸上,根據題意,李永剛之間的關系即可求出的值,進而得到C的方程.
(2)聯立直線與橢圓的方程消元得到二次方程,二次方程的根AB兩點的橫坐標,利用二次方程根與系數的關系得到AB兩點橫坐標之間的關系,利用得到AB橫縱坐標之間的關系即可求出k的值,再利用橢圓的弦長公式即可求出的長度.
試題解析：
（1）由已知得兩圓的圓心坐標分別為.      （1分）
設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以為焦點，長半軸長為2的橢圓．                                                      （2分）
它的短半軸長，                              （3分）
故曲線C的方程為．                                   （4分）
（2）設，其坐標滿足 
消去y并整理得，                         （5分）
∵， ，∴，
故．                          （6分）
又              （7分）
于是．       （8分）
令，得.                                   （9分）
因為，
所以當時，有，即.                （10分）
當時，，．                   （11分）
，           （12分）
而，        （13分）
所以．                                          （14分）
考點：弦長 內積 橢圓定義 圓