Question

已知圓M：x²+y²-4x=0及一條拋物線，拋物線的頂點在原點，焦點是M的圓心F，過F作傾角為α的直線l與拋物線及圓由上至下依次交于A、B、C、D四點，則|AB|+|CD|的最小值為

 

．

Answer 1

分析：把圓的一般式方程化為標準式，求出圓心坐標和半徑，得到拋物線的標準方程，分直線的斜率存在和不存在討論，當直線的斜率存在時，設出直線方程，分別和圓的方程及拋物線方程聯立后利用弦長公式求出弦長，作差后分析|AB|+|CD|的范圍，當斜率不存在時，直接利用拋物線的通徑長減去圓的直徑得|AB|+|CD|的值，從而|AB|+|CD|的最小值可求．

解答：解：由圓M：x²+y²-4x=0，得（x-2）²+y²=4，
∴圓M的圓心坐標為（2，0），半徑為2．
∴拋物線的焦點F（2，0），又拋物線的頂點在原點，
∴拋物線方程為：y²=8x．
當α≠

π

2

時，
設過F點的直線l：y=a（x-2）．
如圖：

|AB|+|CD|=|AD|-|BC|，
聯立

y=ax-2a x2+y2-4x=0

，得（1+a²）x²-4（1+a²）x+4a²=0．
設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
則x1+x2=4，x1x2=

4a2

1+a2

．
∴|BC|=

1+a2

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+a2

16- 16a2 1+a2

=4．
聯立

y=ax-2a y2=8x

，得a²x²-（4a²+8）x+4a²=0．
設A（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
x3+x4=4+

8

a2

．
∴|AD|=4+x3+x4=8+

8

a2

．
∴|AB|+|CD|=|AD|-|BC|=4+

8

a2

＞4；
當α=

π

2

時，AD為拋物線的通徑，|AD|=8．
BC為圓的直徑，|BC|=4，
∴|AB|+|CD|=4．
則|AB|+|CD|的最小值為4．
故答案為：4．

點評：本題考查了直線和圓、直線和拋物線的關系，考查了分類討論的數學思想方法，訓練了弦長公式的應用，考查了計算能力，是中檔題．