Question

已知橢圓中心在原點，焦點在x軸上，離心率e=

2

2

，過橢圓的右焦點且垂直于長軸的弦長為

2

（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知直線l與橢圓相交于P、Q兩點，O為原點，且OP⊥OQ，試探究點O到直線l的距離是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出橢圓的方程及焦距，根據(jù)過橢圓的右焦點且垂直于長軸的弦長為

2

，表示出右焦點的坐標，代入橢圓方程，再根據(jù)離心率的公式得到c與a的比值也代入橢圓方程，化簡后求出b的值，根據(jù)c與a的比值及橢圓的簡單性質(zhì)即可求出c與a的值，把a與b的值代入所設的橢圓方程確定出解析式；
（2）當直線l的斜率存在時，設出直線l的方程及P與Q的坐標，把設出的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y得到關于x的方程，利用韋達定理表示出兩根之和與兩根之積，且表示出兩縱坐標之積，把表示出的兩根之和與兩根之積代入化簡，由兩向量垂直時滿足的數(shù)量積為0列出關系式，把求出的兩根之積與兩縱坐標之積代入即可用k表示出m，然后利用點到直線的距離公式表示出O到直線l的距離d，把表示出的m代入即可求出d的值；當直線l的斜率不存在時，因為

OP

⊥

OQ

，根據(jù)橢圓的對稱性，設直線OP，OQ的方程，求出P與Q的坐標，求出此時原點O到直線l的距離，與d相等，綜上，O到直線l的距離為定值，且定值為求出的d．

解答：解：（1）設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），焦距為2c，
∵e=

c

a

=

2

2

，且根據(jù)題意可知：點（c，

2

2

）在橢圓上，
∴

c2

a2

+

1 2

b2

=1，則

1

2

+

1 2

b2

=1，解得b=1，
∵a=

2

c，且a²-c²=b²=1，則c=1，a=

2

，
故橢圓方程為：

x2

2

+y²=1；
（2）當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+m，點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，消去y得：（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0，
∴x₁+x₂=-

4km

2k2+1

，x₁x₂=

2m2-2

2k2+1

，
于是y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

m2-2k2

2k2+1

，
因為

OP

⊥

OQ

，所以x₁x₂+y₁y₂=

2m2-2

2k2+1

+

m2-2k2

2k2+1

=

3m2-2k2-2

2k2+1

=0，（10分）
即3m²-2k²-2=0，所以m²=

2k2+2

3

，（11分）
設原點O到直線l的距離為d，則d=

|m|

k2+1

=

m2 k2+1

=

2k2+2 3 k2+1

=

6

3

，（12分）
當直線l的斜率不存在時，因為

OP

⊥

OQ

，根據(jù)橢圓的對稱性，
不妨設直線OP，OQ的方程分別為y=x，y=-x，
可得P（

6

3

，

6

3

），Q（

6

3

，-

6

3

）或P（-

6

3

，-

6

3

），Q（-

6

3

，

6

3

），
此時，原點O到直線l的距離仍為

6

3

，
綜上，點O到直線l的距離為定值

6

3

．（14分）

點評：本題考查利用待定系數(shù)法求橢圓的方程，考查了分類討論及整體代入的數(shù)學思想．關鍵是看清題中給出的條件，靈活運用韋達定理，點到直線的距離公式及平面向量的數(shù)量積的運算法則進行求解．