Question

已知長方體ABCD—A₁B₁C_lD₁內接于球O，底面ABCD是邊長為2的正方形，E為AA₁的中點，OA⊥平面BDE，則球O的表面積為

A．8              B．16:            C．14             D．18

 

Answer 1

【答案】

B.

【解析】

試題分析：∵長方體ABCD—A₁B₁C_lD₁內接于球O，∴球心O是A中點。

∵ABCD是邊長為2的正方形，∴BD=2 ，

設BD中點為O‘，連接OO'

∴OO'⊥平面ABCD

∵E為A 的中點，

∴AE//OO'， AE=OO'

∴AO'OE為矩形

∵OA垂直平面BDE

∴OA⊥EO'

∴AO'OE為正方形

∴AO= AO'=2

即球O的半徑R=2

∴球O面積4πR²=16π，故選B。

考點：本題主要考查立體幾何平行關系、垂直關系、長方體、球的幾何特征，球的表面積計算。

點評：中檔題，首先認定球心O是A中點，圍繞球半徑的計算，構造出現直角三角形，利用直角三角形的邊角關系求解。