Question

設a、b、c∈R，函數f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1和x=3取得極值
（1）求a、b的值；
（2）若方程f（x）=0有3個不等實根，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據所給的函數的解析式，對函數求導，使得導函數等于0，得到關于a，b的關系式，解方程組即可，寫出函數的解析式．
（2）對函數求導，寫出函數的導函數大于0，小于0的x的值，求得f（x）極大值，f（x）極小值，方程f（x）=0有3個不等實根等價于函數y=f（x）的圖象與x軸有三個不同的交點，把極值同端點處的值進行比較得到結果．

解答：解：（1）∵f（x）=x³+ax²+bx+c
∴f'（x）=3x²+2ax+b
∵f（x）在x=1，x=3處取得極值
∴f'（1）=3+2a+b=0．f'（3）=27+6a+b=0
∴a=-6，b=9…（6分）
（2）∵f（x）=x³-6x²+9x+c，
∴f'（x）=3x³-12x²+9=3（x-1）（x-3）
∴x∈（-∞，1）時，f'（x）＞0，x∈（1，3）時，f'（x）＜0，x∈（3，+∞）時，f'（x）＞0，
∴f（x）極大值為f（1）=4+c，f（x）極小值為f（3）=c
∴方程f（x）=0有3個不等實根∴函數y=f（x）的圖象與x軸有三個不同的交點∴4+c＞0＞c
∴-4＜c＜0…（12分）

點評：考查學生利用導數求函數極值的能力，利用導數研究函數單調性的能力，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．