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已知函數，以點為切點作函數圖像的切線，直線與函數圖像及切線分別相交于，記．

（1）求切線的方程及數列的通項；

（2）設數列的前項和為，求證：．

 

【答案】

（1）切線的方程為，數列的通項公式為；（2）詳見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）由導數的幾何意義，先對函數求導，求導函數在處的函數值，即得切線的斜率，最后由直線的點斜式方程即可求得切線的方程，進一步結合已知條件可得的坐標，由兩點間的距離公式可得數列的通項；（2）首先寫出數列的前項和的表達式，根據數列通項公式的結構特征選擇裂項相消法求和，進而可證明不等式．

試題解析：（1）對求導，得，則切線方程為：，即，易知，，

由知=．

（2）==，===＜1.

考點：1．導數的幾何意義；2．數列通項公式及前項和的求法（裂項相消法）；3．數列不等式的證明．

 

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源：2013-2014學年安徽省合肥市高三第一次教學質量檢測理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數，（＞0，，以點為切點作函數圖象的切線，記函數圖象與三條直線所圍成的區域面積為．

（1）求；

（2）求證：＜；

（3）設為數列的前項和，求證：＜．來

 

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已知函數的圖象在以點為切點的切線的傾斜角為．

（1）求m、n的值；

（2）求函數在上的最大值和最小值．

 

 

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（1）求m、n的值；
（2）求函數y=f（x）在[-2，1]上的最大值和最小值．

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已知函數，（＞0，，以點為切點作函數圖像的切線，記函數圖像與三條直線所圍成的區域面積為。

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求證：＜；

（Ⅲ）設為數列的前項和，求證：＜.

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