Question

定義域是一切實數的函數y=f（x），其圖象是連續不斷的，且存在常數λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對任意實數x都成立，則稱f（x）是一個“λ的相關函數”．有下列關于“λ的相關函數”的結論：①f（x）=0是常數函數中唯一一個“λ的相關函數”；②f（x）=x²是一個“λ的相關函數”；③“

1

2

的相關函數”至少有一個零點．
其中正確結論的個數是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、0

Answer 1

分析：利用新定義“λ的相關函數”，對①②③逐個判斷即可得到答案．

解答：解：①∵f（x）=0是一個“λ的相關函數”，則0+λ•0=0，λ可以取遍實數集，因此f（x）=0不是常數函數中唯一一個“λ的相關函數”，故①不正確；
②用反證法，假設f（x）=x²是一個“λ的相關函數”，則（x+λ）²+λx²=0，
即（1+λ）x²+2λx+λ²=0對任意實數x成立，
∴λ+1=2λ=λ²=0，而此式無解，
∴f（x）=x²不是一個“λ的相關函數”，故②不正確；
③令x=0得：f（

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2

）+

1

2

f（0）=0，
∴f（

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2

）=-

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2

f（0），
若f（0）=0，顯然f（x）=0有實數根；
若f（0）≠0，f（

1

2

）•f（0）=-

1

2

f（0）•f（0）=-

1

2

f²（0）＜0，
又因為f（x）的函數圖象是連續不斷，
∴f（x）在（0，

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）上必有實數根．因此任意的“

1

2

相關函數”必有根，即任意“

1

2

的相關函數”至少有一個零點，故③正確．
綜上所述，其中正確結論的個數是1個．
故選：A．

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查反證法與函數零點存在定理的應用，考查推理與轉化思想，屬于難題．