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在平面直角坐標系中，點為動點，分別為橢圓的左右焦點．已知△為等腰三角形．（1）求橢圓的離心率；（2）設直線與橢圓相交于兩點，是直線上的點，滿足，求點的軌跡方程．

(1)  ; (2) .

解析試題分析：（1）設出焦點，由條件為等腰三角形，分析出，代入兩點間距離公式，利用消去，得a、c的關系，得出e的值；（2）由得，，推出橢圓方程，由即，，得，得，與橢圓：聯立得交點A，B的坐標，再表示，代入中，整理得點的軌跡方程.
試題解析：（1）設，
由題意,可得,即，             2分
整理得，得 (舍)或，所以.           4分 
（2）由（1）知，,可得橢圓方程為.
直線方程為                           5分
兩點的坐標滿足方程組,消去y并整理得  6分
解得得方程組的解,           8分
不妨設,,設的坐標為
則,，               10分
由得.
于是,         11分
由得，
化簡得，                       13分
將代入得，
由得.因此,點的軌跡方程是.  14分
考點：1.兩點間距離公式；2.斜率公式.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

拋物線與直線相切，是拋物線上兩個動點，為拋物線的焦點，的垂直平分線與軸交于點，且.
（1）求的值;
（2）求點的坐標;
（3）求直線的斜率的取值范圍.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知動點與定點的距離和它到直線的距離之比是常數,記的軌跡為曲線.
（I）求曲線的方程；
（II）設直線與曲線交于兩點，點關于軸的對稱點為,試問：當變化時，直線與軸是否交于一個定點？若是，請寫出定點的坐標，并證明你的結論；若不是，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

經過點且與直線相切的動圓的圓心軌跡為．點、在軌跡上，且關于軸對稱，過線段（兩端點除外）上的任意一點作直線，使直線與軌跡在點處的切線平行，設直線與軌跡交于點、．
（1）求軌跡的方程；
（2）證明：；
（3）若點到直線的距離等于，且△的面積為20，求直線的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知是橢圓的右焦點，圓與軸交于兩點，是橢圓與圓的一個交點，且.
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）過點與圓相切的直線與的另一交點為，且的面積等于，求橢圓的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的兩個焦點分別為,且,點在橢圓上,且的周長為6.
(I)求橢圓的方程;
(II)若點的坐標為,不過原點的直線與橢圓相交于兩點,設線段的中點為,點到直線的距離為,且三點共線.求的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在直角坐標平面內，y軸右側的一動點P到點的距離比它到軸的距離大
（Ⅰ）求動點的軌跡的方程；
（Ⅱ）設為曲線上的一個動點，點，在軸上，若為圓的外切三角形，求面積的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知拋物線，過軸上一點的直線與拋物線交于點兩點。
證明，存在唯一一點，使得為常數，并確定點的坐標。

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知拋物線的頂點為原點,其焦點到直線:的距離為.設為直線上的點,過點作拋物線的兩條切線,其中為切點.
(Ⅰ) 求拋物線的方程；
(Ⅱ) 當點為直線上的定點時,求直線的方程；
(Ⅲ) 當點在直線上移動時,求的最小值.

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