Question

把函數f(x)=sin²x-2sinxcosx+3cos²x的圖象沿x軸向左平移m(m＞0)個單位，所得函數的圖象關于直線x=π對稱.

(1)求m的最小值；

(2)證明當x∈(-π,-π)時，經過函數f(x)圖象上任意兩點的直線的斜率恒為負數；

(3)設x₁,x₂∈(0,π),x₁≠x₂,且f(x₁)=f(x₂)=1,求x₁+x₂的值.

Answer 1

分析：(1)f(x)的圖象平移后關于直線x=π對稱，則x=π使平移后的函數式取最值；(2)只需計算圖象上任兩點斜率的范圍；(3)可求出x₁,x₂的值即可.

解：(1)f(x)=sin²x-2sinxcosx+3cos²x=-sin2x+3·

=cos2x-sin2x+2=cos(2x+)+2.

    將f(x)的圖象沿x軸向左平移m個單位得到函數g(x)=cos［2(x+m)+］+2的圖象.

∵g(x)的圖象關于直線x=π對稱，∴2(π+m)+=kπ(k∈Z)即m=(k∈Z),又m＞0，∴m的最小值為(k=5時取得).

(2)∵-π＜x＜-π,∴-4π＜2x+＜-π,∴f(x)在(-π,-π)上是減函數.于是x₁,x₂∈(-π，-π)，且x₁＜x₂,便有f(x₁)＞f(x₂)從而經過兩點(x₁,f(x₁),(x₂,f(x₂))的斜率k=＜0.

(3)f(x)=1cos(2x+)=-,在(0，π)內滿足cos(2x+)=-的值為和.∵f(x₁)=f(x₂)=1.且x₁,x₂∈(0,π).x₁≠x₂,∴x₁+x₂=+=π

另法：由2x+=kπ(k∈Z)得x=-

∴在(0，π)內的對稱軸為x=π和x=π

    又f(x₁)=f(x₂)=1,且x₁,x₂∈(0,π).x₁≠x₂,x∈(π,π)時f(x)≠1.

∴x₁+x₂＝2×π=π.