Question

已知P為△ABC內一點，且滿足

PA

+2

PB

+3

PC

=

O

，記△ABP，△BCP，△ACP的面積依次為S₁，S₂，S₃，則S₁：S₂：S₃等于（　　）

A．1：2：3

B．1：4：9

C．2：3：1

D．3：1：2

Answer 1

分析：根據已知的等式變形可得

BA

=-6

PD

，

PE

=-

1

3

BA

，從而得出P到BC的距離等于A到BC的距離的

1

6

，P到AC的距離等于B到AC的距離的

1

3

．從而有S₂ =

1

6

S，S₃ =

1

3

S，S₁ =S-S₂-S₃ =

1

2

S即可解決問題．

解答：解：如圖：設D、E 分別為BC、AC的中點，
∵

PA

+2

PB

+3

PC

=0，∴

PA

-

PB

=-3（

PB

+

PC

），
∴

BA

=-3×2

PD

=-6

PD

，
同理由（

PA

+

PC

）=-2（

PB

+

PC

），即  2

PE

=-2×

PD

，
∴

PE

=-

1

3

BA

．∴P到BC的距離等于A到BC的距離的

1

6

，
設△ABC的面積為S，則S₂ =

1

6

S．
 P到AC的距離等于B到AC的距離的

1

3

，
∴S₃ =

1

3

S．∴S₁ =S-S₂-S₃ =

1

2

S．
∴S₁：S₂：S₃=

1

2

S：

1

6

S=

1

3

S=3：1：2，
故選D．

點評：本題考查向量在幾何中的應用、共線向量的意義，兩個同底的三角形的面積之比等于底上的高之比，體現了數形結合的數學思想．