Question

如圖△ABC為正三角形，邊長為2，以點A為圓心，1為半徑作圓，PQ為圓A的任意一條直徑．
（1）若

CD

=

1

3

DB

，求|

AD

|；
（2）求

BP

•

CQ

的最大值．
（3）判斷B

P

•C

Q

-A

P

•C

B

的值是否會隨點P的變化而變化，請說明理由．

Answer 1

分析：（1′）利用向量加法的三角形法則，將向量

AD

表示成：

AD

=

AC

+

1

4

CB

，再結合向量的模的性質求出它的模即可；
（2）先結合圖形利用平面向量基本定理將向量

BP

，

CQ

分別用向量

BA

+

AP

和

CA

+

AQ

表示，再利用題中條件化成1+2cosθ，最后結合三角函數的性質求

BP

•

CQ

的最大值．
（3）將B

P

•C

Q

-A

P

•C

B

利用平面向量基本定理化簡成：-|A

P

|2+A

B

•A

C

，再結合向量的數量積公式即可得出不會隨點P的變化而變化，值為1．

解答：解：（1）∵

AD

=

AC

+

1

4

CB

，
∴|

AD

|=

( AC + 1 4 CB )2

=

13 4

=

13

2

；
（2）

BP • CQ =( BA + AP )•( CA + AQ )=1+ AQ ( BA - CA )=1+ AQ • BC  =1+2cosθ

（其中θ為

AQ

與

BC

的夾角）所以 θ=0時，(

BP

•

CQ

)取最大值3．
（3）由于B

P

•C

Q

-A

P

•C

B

=(A

P

-A

B

)•(A

Q

-A

C

)-A

P

(A

B

-A

C

)，A

Q

=-A

P

B

P

•C

Q

-A

P

•C

B

=(A

P

-A

B

)•(-A

P

-A

C

)-A

P

(A

B

-A

C

)=-|A

P

|2+A

B

•A

C

．因為A

B

•A

C

=|A

B

|•|A

C

|cos∠BAC=2，|A

P

|2=1，
所以B

P

•C

Q

-A

P

•C

B

=-|A

P

|2+A

B

•A

C

=1，即B

P

•C

Q

-A

P

•C

B

不會隨點P的變化而變化，值為1．

點評：本小題主要考查向量的模、最小值問題中的應用、平面向量數量積的運算等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．