Question

已知函數．
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）設，如果過點可作曲線的三條切線，證明：

Answer 1

（1）（2）設切線，方程有三個相異的實數根．函數與x軸有三個交點，得
，滿足極大值，極小值得

試題分析：（1）求函數的導數；．(1分) 曲線在點處的切線方程為：   ，    （2分）
即 ．           （4分）
（2）如果有一條切線過點，則存在，使．    （5分）
于是，若過點可作曲線的三條切線，則方程  有三個相異的實數根．（6分）  記   ，則  ．      （（7分）
當變化時，變化情況如下表：

		0
		0		0
		極大值		極小值

（表10分）（畫草圖11分）由的單調性，當極大值或極小值時，方程最多有一個實數根；
當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數根；
當時，解方程得，即方程只有兩個相異的實數根．
綜上，如果過可作曲線三條切線，即有三個相異的實數根，則 （13分）   即   ．    （14分）
點評：幾何意義：函數在某一點處的導數值等于該點處的切線斜率，第一問利用幾何意義求得斜率；第二問有三條切線即有三個切點，轉化為方程有三個不同的根，利用函數與方程的關系轉化為函數圖像與x軸有三個交點，即可通過極值判定，本題難度較大