Question

如圖，已知直線a∥b，且a與b之間的距離為4，點(diǎn)A到直線a的距離為2，點(diǎn)B到直線b的距離為3，AB=2

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．試在直線a上找一點(diǎn)M，在直線b上找一點(diǎn)N，滿足MN⊥a且AM+MN+NB的長度和最短，則此時AM+NB=（　　）

• A、6
• B、8
• C、10
• D、12

Answer 1

分析：如圖所示，作BB′⊥b，分別交b，a與點(diǎn)E，F(xiàn)，且滿足B′F=BE=3．再作AC⊥a，垂足是C點(diǎn)，延長AC到點(diǎn)A′，使得A′C=CA=2．連接A′B交a于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥a，交b于點(diǎn)N．則AM+MN+NB的長度和最短．證明并求出即可．

解答：解：如圖所示，作BB′⊥b，分別交b，a與點(diǎn)E，F(xiàn)，且滿足B′F=BE=3．
再作AC⊥a，垂足是C點(diǎn)，延長AC到點(diǎn)A′，使得A′C=CA=2．
連接A′B交a于點(diǎn)M，過點(diǎn)M作MN⊥a，交b于點(diǎn)N．
則AM+MN+NB的長度和最短．證明如下：
若在直線a上取除了點(diǎn)M以外的任意一點(diǎn)M′，
則AM′+M′N′+N′B=A′M′+M′N′+B′M′＞A′B′+MN．
作BE⊥AC交AC的延長線于點(diǎn)E．作A′F⊥BB′．垂足為點(diǎn)F．
此時AM+NB=A′B′．
∵AB²=AE²+EB²，∴(2

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)2=(2+4+3)2+EB2，解得EB²=39．
∴此時AM+NB=A′B′=

A′F2+B′F2

=

39+(2+4+3-2-2)2

=8．
故選：B．

點(diǎn)評：本題考查了利用軸對稱圖形和性質(zhì)解決實(shí)際距離最短問題，考查了三角形的三邊大小關(guān)系，考查了推理能力和解決問題的能力，屬于難題．