Question

已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí), (其中e是自然界對(duì)數(shù)的底,)

（Ⅰ）設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，；

（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，使得當(dāng)時(shí)，的最小值是3 ？如果存在，求出實(shí)數(shù)a的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

 (Ⅰ)見(jiàn)解析;（Ⅱ）存在，

【解析】

試題分析：(Ⅰ)根據(jù)已知條件和奇函數(shù)的定義與性質(zhì)，先求出函數(shù)在整個(gè)定義域的解析式，再由和的關(guān)系列不等式，由函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系解不等式即可；（Ⅱ）首先假設(shè)這樣的存在，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性找到最小值，注意解題過(guò)程中要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，不能漏解.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)，則，所以,

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013103023153496488138/SYS201310302316196436255927_DA.files/image002.png">是定義在上的奇函數(shù)，所以, 

故函數(shù)的解析式為  ,            2分

證明：當(dāng)且時(shí)，，設(shè),

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013103023153496488138/SYS201310302316196436255927_DA.files/image015.png">，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以,

  又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013103023153496488138/SYS201310302316196436255927_DA.files/image021.png">，所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，所以,

所以當(dāng)時(shí)，即 ;              4分

（Ⅱ）解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有最小值是3，則                    ..5分

（ⅰ）當(dāng)，時(shí)，．在區(qū)間上單調(diào)遞增，，不滿(mǎn)足最小值是3,            6分

（ⅱ）當(dāng)，時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，也不滿(mǎn)足最小值是3,             7分

（ⅲ）當(dāng)，由于，則，故函數(shù) 是上的增函數(shù)．

所以，解得（舍去）.       8分

（ⅳ）當(dāng)時(shí)，則

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)是增函數(shù)．

所以，解得.

綜上可知，存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有最小值3.             10分

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值.