Question

已知函數，其中ｅ是自然數的底數，．
（1）當時，解不等式；
（2）當時，求整數ｋ的所有值，使方程在［ｋ，ｋ＋１］上有解；
（3）若在［－１，１］上是單調增函數，求的取值范圍．

Answer 1

⑴因為，所以不等式即為，
又因為，所以不等式可化為，
所以不等式的解集為．………………………………………4分
⑵當時, 方程即為，由于，所以不是方程的解，
所以原方程等價于，令，
因為對于恒成立，
所以在和內是單調增函數，……………………………6分
又，，，，
所以方程有且只有兩個實數根，且分別在區間和上，
所以整數的所有值為．……………………………………………8分
⑶，
①當時，，在上恒成立，當且僅當時
取等號，故符合要求；………………………………………………………10分
②當時，令，因為，
所以有兩個不相等的實數根，，不妨設，
因此有極大值又有極小值．
若，因為，所以在內有極值點，
故在上不單調．………………………………………………………12分
若，可知，
因為的圖象開口向下，要使在上單調，因為，
必須滿足即所以.--------------------------14分
綜上可知，的取值范圍是．………………………………………16分

略