Question

設點A（1，0），B（2，1），如果直線ax+by=1與線段AB有一個公共點，那么a²+b²的最小值為

1

5

．

Answer 1

分析：由題意得：點A（1，0），B（2，1）在直線ax+by=1的兩側，那么把這兩個點代入ax+by-1，它們的符號相反，乘積小于等于0，即可得出關于a，b的不等關系，畫出此不等關系表示的平面區域，結合線性規劃思想求出a²+b²的取值范圍．

解答：解：∵直線ax+by=1與線段AB有一個公共點，
∴點A（1，0），B（2，1）在直線ax+by=1的兩側，
∴（a-1）（2a+b-1）≤0，
即

a-1≤0 2a+b-1≥0

或

a-1≥0 2a+b-1≤0

；
畫出它們表示的平面區域，如圖所示．
a²+b²表示原點到區域內的點的距離的平方，
由圖可知，當原點O到直線2x+y-1=0的距離為原點到區域內的點的距離的最小值，
∵d=

|-1|

4+1

1

5

，
那么a²+b²的最小值為：d²=

1

5

．
故答案為：

1

5

．

點評：本題考查二元一次不等式組與平面區域問題、函數的最值及其幾何意義，是基礎題．準確把握點與直線的位置關系，找到圖中的“界”，是解決此類問題的關鍵．