Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC為正三角形，側棱AA₁⊥平面ABC，D是BC中點，且AA₁=AB
（1）證明：AD⊥BC₁
（2）證明：A₁C∥平面AB₁D．

Answer 1

分析：（1）依題意，易證AD⊥平面BCC₁B₁，利用線面垂直的性質定理即可證得AD⊥BC₁；
（2）取C₁B₁的中點E，連接A₁E，ED，易證平面A₁EC∥平面AB₁D，利用面面平行的性質即可證得A₁C∥平面AB₁D．

解答：證明：（1）∵ABC-A₁B₁C₁為三棱柱，D是BC中點，AA₁⊥平面ABC，AD?平面ABC，
∴AA₁⊥AD；又AA₁∥BB₁，
∴AD⊥BB₁；
又底面ABC為正三角形，D是BC中點，
∴AD⊥BC，而BC∩BB₁=B，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，
∴AD⊥BC₁；
（2））取C₁B₁的中點E，連接A₁E，ED，

則B₁E

∥

.

DC，
∴四邊形B₁DCE為平行四邊形，于是有B₁D∥EC，又A₁E∥AD，B₁D∩AD=D，A₁E∩EC=E，
∴平面A₁EC∥平面AB₁D，A₁C?平面A₁EC，
∴A₁C∥平面AB₁D．

點評：本題考查直線與平面垂直的性質，考查面面平行的性質，（2）中證得平面A₁EC₁∥平面AB₁D是關鍵，考查作圖、推理與證明的邏輯思維能力，屬于中檔題．