Question

(1)已知函數為有理數且)，求函數的最小值;
(2)①試用(1)的結果證明命題：設為有理數且，若時，則；
②請將命題推廣到一般形式，并證明你的結論；
注：當為正有理數時，有求導公式

Answer 1

（1）（2）①關鍵是利用函數的最小值為②利用數學歸納法可證。

試題分析：解：（Ⅰ）令
得
當時，，故在上遞減．
當，故在上遞增．
所以，當時，的最小值為 
（Ⅱ）（ⅰ），令，由（Ⅰ）知
，，即 
（ⅱ）命題推廣到一般形式為：設為有理數且，
若時，則.
下面用數學歸納法證明如下：①當時，由（Ⅱ）（ⅰ）知，不等式成立；
②假設時，不等式成立，即，
那么時，要證，
即證，
設函數，
則，
令，得，
當時，，
故在上遞減；
當，類似可證，故在上遞增．
當時，的最小值為



，
由歸納假設知，所以，
，
時不等式成立.
綜上，原命題得證 
點評：本題用到的數學歸納法，在高中數學中常用來證明等式成立和數列通項公式成立。若要證明一個與自然數n有關的命題P(n），有如下步驟：
（1）證明當n取第一個值時命題成立。對于一般數列取值為0或1，但也有特殊情況；
（2）假設當n=k（k≥，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。
綜合（1）（2），對一切自然數n（≥），命題P(n）都成立。