Question

已知數列{x_n}滿足x₁=

1

2

，x_n+1=

1

1+xn

，n∈N^*；
（1）猜想數列{x_2n}的單調性，并證明你的結論；
（Ⅱ）證明：|xn+1-xn|≤

1

6

(

2

5

)n-1．

Answer 1

證明：（1）由x₁=

1

2

，x_n+1=

1

1+xn

，
∴x2=

2

3

，x3=

3

5

，x4=

5

8

，x5=

8

13

，x6=

13

21

，…
由x₂＞x₄＞x₆猜想：數列{x_2n}是遞減數列
下面用數學歸納法證明：
（1）當n=1時，已證命題成立
（2）假設當n=k時命題成立，即x_2k＞x_2k+2
易知x_2k＞0，那么x2k+2-x2k+4=

1

1+x2k+1

-

1

1+x2k+3

=

x2k+3-x2k+1

(1+x2k+1)(1+x2k+3)

=

x2k-x2k+2

(1+x2k)(1+x2k+1)(1+x2k+2)(1+x2k+3)

＞0
即x_2（k+1）＞x_2（k+1）+2
也就是說，當n=k+1時命題也成立，結合（1）和（2）知，命題成立
（2）當n=1時，|xn+1-xn|=|x2-x1|=

1

6

，結論成立
當n≥2時，易知0＜x_n-1＜1，∴1+xn-1＜2，xn=

1

1+xn-1

＞

1

2

∴(1+xn)(1+xn-1)=(1+

1

1+xn-1

)(1+xn-1)=2+xn-1≥

5

2

∴|xn+1-xn|=|

1

1+xn

-

1

1+xn-1

|=

|xn-xn-1|

(1+xn)(1+xn-1)

≤

2

5

|xn-xn-1|≤(

2

5

)2|xn-1-xn-2|≤≤(

2

5

)n-1|x2-x1|
=

1

6

(

2

5

)n-1