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已知點P是△ABC的內心（三個內角平分線交點）、外心（三條邊的中垂線交點）、重心（三條中線交點）、垂心（三個高的交點）之一，且滿足2
AP
•
BC
=
AC
2-
AB
2，則點P一定是△ABC的（　　）
分析：設D為BC的中點，可得
AC
+
AB
=2
AD
．根據向量數量積的運算性質，將2
AP
•
BC
=
AC
2-
AB
2化簡，得到2
BC
•（
AD
-
AP
）=0，從而得到
BC
•
PD
=0，即
BC
⊥
PD
，從而得到P在BC的垂直平分線上．由此根據三角形外心的性質，結合題意可得答案．
解答：解：設D為BC的中點，可得
AC
+
AB
=2
AD

∵
AC
2-
AB
2=(
AC
 +
AB
 )(
AC
 -
AB
 )
∴點P滿足2
AP
•
BC
=
AC
2-
AB
2=2
AD
•（
AC
-
AB
）
∵向量
BC
=
AC
-
AB

∴2
AP
•
BC
=2
AD
•
BC
，移項得2
BC
•（
AD
-
AP
）=0
即
BC
•
PD
=0，得
BC
⊥
PD
．結合D為BC的中點，可得P在BC的垂直平分線上
又∵點P是△ABC的內心、外心、重心和垂心之一
∴結合三角形外接圓的性質，得點P是△ABC的外心
故選：B
點評：本題給出三角形中的點P滿足的向量等式，求點P是三角形四心中的哪一個．著重考查了向量的線性運算法則、向量的數量積及其運算性質和三角形的四心等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•濟南二模）已知點P是△ABC的中位線EF上任意一點，且EF∥BC，實數x，y滿足
PA
+x
PB
+y
PC
=0．設△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S1，S2，S3，記
S1
S
=λ1，
S2
S
=λ2，
S3
S
=λ3．則λ2•λ3取最大值時，2x+y的值為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點P是△ABC的中位線EF上任意一點，且EF∥BC，實數x，y滿足
PA
+x
PB
+y
PC
=0．設△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S1，S2，S3，記
S3
S
=λ 3，
S 1
S
=λ 1，
S 2
S
=λ 2．則λ2•λ3取最大值時，2x+y的值為
3
2
3
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•朝陽區二模）已知點P是△ABC的中位線EF上任意一點，且EF∥BC．設△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S1，S2，S3，記
S1
S
=λ1，
S2
S
=λ2，
S3
S
=λ3，定義M（P）=（λ1，λ2，λ3）．當λ2•λ3取最大值時，則M（P）等于（　　）

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年山東省臨沂市沂南縣大學臥龍學校高三（上）競賽數學試卷（理科）（復習班）（解析版） 題型：選擇題

已知點P是△ABC的中位線EF上任意一點，且EF∥BC，實數x，y滿足．設△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面積分別為S，S1，S2，S3，記，，．則λ2•λ3取最大值時，2x+y的值為（ ）
A．
B．
C．1
D．2

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