Question

（理）線段AB過x軸正半軸上一點M（m，0）（m＞0），端點A、B到x軸的距離之積為3m．以x軸為對稱軸，過A、O、B作拋物線，
（1）求拋物線方程；
（2）若直線AB的斜率為

1

2

，求當0＜m＜3時，tan∠AOB的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由于線段AB過x軸正半軸上一點M（m，0），可設方程為x-m=ty．假設拋物線方程為y²=2px（p＞0），聯立消去x得y²-2pty-2pm=0，利用根與系數的關系及端點A、B到x軸的距離之積為3m，可求拋物線的方程．
（2）用A，B的坐標表示出tan∠AOB得到m的函數，再根據0＜m＜3，可確定tan∠AOB的取值范圍．

解答：解：（1）設拋物線方程為y²=2px（p＞0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），（y₁＞0，y₂＜0）．
由已知得y₁y₂=-3m．再設AB方程為：x-m=ty．
由

x-m=ty y2=2px

得y²-2pty-2pm=0∴y₁y₂=-3m=-2pm，∴2p=3，所求拋物線方程為y²=3x-------------------------6′
（2）由（1）A(

y12

3

，y1)（7），B(

y22

3

，y2)，t=2，y₁，y₂是方程y²-6y-3m=0（11）的兩根，
所以y₁+y₂=6，∴y₁y₂=-3m，
tan∠AOB=

kOA-kOB

1+kOAkOB

=

3 y1 - 3 y2

1+ 3 y1 • 3 y2

=

3(y2-y1)

y1y2+9

=

-3 (y1+y2)2-4y1y2

y1y2+9

=

2 3 • 3+m

m-3

-------------10′
令s=m-3，則-3＜s＜0，設g(s)=

3+m

m-3

=

s+6

s

=-

6( 1 s + 1 12 )2- 1 24

，
又

1

s

＜-

1

3

∴g(s)＜

-1

3

，∴tan∠AOB＜-2----------------------------14′

點評：本題主要考查拋物線方程的求解，考查利用函數的思想解決取值范圍問題，屬于中檔題．