Question

對于函數f(x)=bx³+ax²-3x.
（1）若f(x)在x=1和x=3處取得極值，且f(x)的圖象上每一點的切線的斜率均不超過2sintcost-2cos²t+,試求實數t的取值范圍；
（2）若f(x）為實數集R上的單調函數，且b≥-1,設點P的坐標為（a,b)，試求出點P的軌跡所圍成的圖形的面積S.

Answer 1

（1）k+≤t≤k+,k∈Z（2）面積為S=(1-a²)da=4

 （1）由f(x)=bx³+ax²-3x,
則f′(x)=3bx²+2ax-3,
∵f（x）在x=1和x=3處取得極值，
∴x=1和x=3是f′(x)=0的兩個根且b≠0.
.
∴f′(x)=-x²+4x-3.
∵f(x)的圖象上每一點的切線的斜率不超過
2sintcost-2cos²t+,
∴f′(x)≤2sintcost-2cos²t+對x∈R恒成立，
而f′(x)=-(x-2)²+1,其最大值為1.
故2sintcost-2cos²t+≥1
2sin(2t-)≥12k+≤2t-≤2k+,k∈Z
k+≤t≤k+,k∈Z.
（2）當b=0時，由f(x)在R上單調，知a=0.
當b≠0時，由f(x)在R上單調
f′(x)≥0恒成立，或者f′(x)≤0恒成立.
∵f′(x)=3bx²+2ax-3,
∴Δ=4a²+36b≤0可得b≤-a².
從而知滿足條件的點P（a,b)在直角坐標平面aOb上形成的軌跡所圍成的圖形是由曲線b=-a²與直線b=-1所圍成的封閉圖形，
其面積為S=(1-a²)da=4.