Question

已知關于x的方程x2-(k+1)x+

1

4

k2+1=0的兩根是一個矩形兩邊的長．
（1）k取何值時，方程存在兩個正實數根？
（2）當矩形的對角線長是

5

時，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根據一元二次方程根的判別式，方程有兩個正實數根，則判別式△≥0，且兩根的和與積都是正數，得出關于k的不等式組，求出k的取值范圍．
（2）根據勾股定理得到的兩根的平方和與根與系數的關系得出關于k的方程，求出k的值并檢驗．

解答：解：（1）設方程的兩根為x₁，x₂
則△=（k+1）²-4（

1

4

k²+1）=2k-3，
∵方程有兩個實數根，∴△≥0，即2k-3≥0，①
k+1＞0，②

1

4

k2＞0    ③
∴綜上可知k≥

3

2

∴當k≥

3

2

，方程有兩個正實數根．
（2）由題意得：

x1+x2=k+1 x1x2= 1 4 k2+1

，
又∵x₁²+x₂²=5，即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=5，
（k+1）²-2（

1

4

k²+1）=5，
整理得k²+4k-12=0，
解得k=2或k=-6（舍去），
∴k的值為2．

點評：解決本題的關鍵是利用一元二次方程根與系數的關系和勾股定理，把問題轉化為解方程求得k的值，本題解題的關鍵是根與系數的關系的應用．