Question

若數列的前項和為，對任意正整數都有，記．
（1）求,的值；
（2）求數列的通項公式；
（3）若求證：對任意．

Answer 1

（1）；（2）；（3）詳見試題解析．

試題分析：（1）分別令可求得的值；（2）利用與的關系式，先求，再利用已知條件求得數列的通項公式；（3）先利用累加法求得,再利用裂項相消法求和，進而可證明不等式．
試題解析：(1)由，得，解得．      1分
，得，解得．      3分
（2）由           ①，            
當時，有  ②，　　              4分
①－②得：，　　　　　　　　　　　　　　　　   ５分
數列是首項，公比的等比數列　　　　   ６分
，　　　　　   ７分
．　　　　　　　　   ８分
（3），
，　    (1)
，     (2)
，
，
，          ()　　　　　   ９分
(1)+(2)+   +()得，    10分
，                                    11分　
，　　　　　　　　    12分

，　　　　　　　    13分
，　　　　　　　　　　　　　　　　　
對任意均成立．　　　    14分項和的求法；3、數列不等式的證明．