Question

已知f(x)=

1  (x＜-1) x+2(x≥-1)

，g(x)=

x-2(x≤1) -1  (x＞1)

，h（x）=f（x）•g（x）
（1）求函數h（x）的解析式，并求它的單調遞增區間；
（2）若h（x）=t有四個不相等的實數根，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據條件h（x）=f（x）•g（x）即可求函數h（x）的解析式，根據圖象即可求它的單調遞增區間；
（2）作出函數h（x）的圖象，利用數形結合即可得到滿足條件的t的取值范圍．

解答：解：（1）∵f(x)=

1  (x＜-1) x+2(x≥-1)

，g(x)=

x-2(x≤1) -1  (x＞1)

，
∴h（x）=f（x）•g（x）=

x-2，x＜-1 x2-4，-1≤x≤1 -x-2，x＞1

，
作出對應的圖象如圖：
由圖象可知函數的遞增區間為：（-∞，-1）和（0，1）．
（2）由圖象可知
當t＞-3時，方程h（x）=t有3個不相等的實數根，
當t=-3時，方程h（x）=t有2個不相等的實數根，
當t=-4時，方程h（x）=t有3個不相等的實數根，
當-4＜t＜-3時，方程h（x）=t有4個不相等的實數根，
當t＜-4時，方程h（x）=t有2個不相等的實數根，
故若h（x）=t有四個不相等的實數根，
則-4＜t＜-3．

點評：本題主要考查分段函數的圖象和性質，以及方程根的個數的應用，利用數形結合是解決本題的關鍵．