Question

已知數列{a_n}，且x=

t

是函數f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一個極值t＞0點．數列{a_n}中a₁=t，a₂=t²（且t≠1）．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若cn=

3nlogtan

3n- 1

，證明：

c2

2

•

c3

3

…

cn

n

＜

4

3

(n∈N?)．

Answer 1

分析：（1）利用函數極值的定義得出數列相鄰兩項之間的關系是解決本題的關鍵，關鍵要確定出相關數列為特殊數列，從而達到求解的目的；
（2）首先要確定出c_n的表達式，利用分析法完成不等式的證明，注意約分思想的運用．

解答：解：（1）f′（x）=3a_n-1x²-3[（t+1）a_n-a_n+1]，
所以 f′(

t

)=3an-1t-3[(t+1)an-an+1]=0．整理得：a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1）．
當t=1時，{a_n-a_n-1}是常數列，得a_n=1；
當t≠1時，{a_n-a_n-1}是以a₂-a₁=t²-t為首項，t為公比的等比數列，所以a_n-a_n-1=（t²-t）•t^n-2=（t-1）•t^n-1
由上式得：a_n-tⁿ=a_n-1-t^n-1，所以{a_n-tⁿ}是常數列，a_n-tⁿ=a₁-t=0，a_n=tⁿ（n≥2）．
又當t=1時上式仍然成立，故a_n=tⁿ（n∈N^*）．
（2）cn=

n•3n

3n-1

且 c1=

3

2

，所以

c2

2

•

c3

3

…

cn

n

＜

4

3

等價于

c1

1

•

c2

2

•

c3

3

…

cn

n

＜2等價于 (1-

1

3

)(1-

1

32

)…(1-

1

3n

)＞

1

2

因為 1-

1

3n

=

(1- 1 3n )(1+ 1 3n-1 )

1+ 1 3n-1

=

1+ 1 3n-1 - 1 3n - 1 32n-1

1+ 1 3n-1

=

1+ 1 3n + 1 3n - 1 32n-1

1+ 1 3n-1

≥

1+ 1 3n

1+ 1 3n-1

，
所以 (1-

1

3

)(1-

1

32

)…(1-

1

3n

)＞

1+ 1 3

1+1

•

1+ 1 32

1+ 1 3

…

1+ 1 3n

1+ 1 3n-1

=

1+ 1 3n

2

＞

1

2

，從而原命題得證．

點評：本題屬于函數、數列、不等式的綜合問題，首先通過數列與函數的聯系，得出數列某些項之間的關系，然后利用數列的知識實現求通項和求前n項和的計算，考查分析法證明不等式的思想和意識．