Question

已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=25及直線l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4．（m∈R）
（Ⅰ）證明：不論m取什么實數，直線l恒過定點（3，1）；
（Ⅱ）求直線l與圓C所截得的弦長最小時直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把已知直線l的方程變形為m（2x+y-7）+x+y-4=0，可得直線l必過直線2x+y-7=0與直線x+y+4=0的交點，故聯立兩直線的方程組成方程組，求出方程組的解，得到交點坐標為（3，1），故不論m取什么實數，直線l恒過定點（3，1），得證；
（Ⅱ）由A到圓心的距離d小于圓的半徑，判斷得到點A在圓內，故直線l與圓C所截得的弦長最小時，為與直徑AC垂直的弦，故連接AC，過A作AC的垂線，此時的直線與圓C相交于B、D，BD為直線被圓所截得的最短弦長，由A與C的坐標求出直線AC的斜率，根據兩直線垂直時斜率的乘積為-1，求出直線BD的斜率，再由A的坐標，寫出直線BD的方程，即為所求的直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）∵直線方程l：（2m+1）x+（m+1）y=7m+4，
可以改寫為m（2x+y-7）+x+y-4=0，…（3分）
∴直線必經過直線2x+y-7=0和x+y-4=0的交點，
由方程組

2x+y-7=0 x+y-4=0

，
解得

x=3 y=1

，即兩直線的交點為A（3，1），…（5分）
則不論m取什么實數，直線l恒過定點（3，1）；…（6分）
（Ⅱ）∵圓C：（x-1）²+（y-2）²=25，
∴圓心C（1，2），半徑r=5，
∵點A（3，1）與圓心C（1，2）的距離d=

5

＜5，
∴A點在C內，
連接AC，過A作AC的垂線，
此時的直線與圓C相交于B、D，BD為直線被圓所截得的最短弦長，…（8分）．
∵直線AC的斜率kAC=-

1

2

，…（10分）
∴直線BD的斜率為2，
則此時直線l方程為：y-1=2（x-3），即2x-y-5=0．…（12分）

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，以及恒過定點的方程，涉及的知識有：點與圓位置的判斷，兩點間的距離公式，兩直線的交點坐標，圓的標準方程，垂徑定理，以及兩直線垂直時斜率滿足的關系，把直線l的方程適當變形為m（2x+y-7）+x+y-4=0是解第一問的關鍵，連接AC，過A作AC的垂線，此時的直線與圓C相交于B、D，BD為直線被圓所截得的最短弦長是解第二問的關鍵．