Question

某企業生產A，B兩種產品，根據市場調查與預測，A產品的利潤與投資成正比，其關系如圖1；B產品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖2(注：利潤和投資單位：萬元)．

(1)分別將A、B兩種產品的利潤表示為投資的函數關系式；
(2)已知該企業已籌集到18萬元資金，并將全部投入A，B兩種產品的生產．
①若平均投入生產兩種產品，可獲得多少利潤？
②問：如果你是廠長，怎樣分配這18萬元投資，才能使該企業獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？

Answer 1

（1）f(x)＝0．25x (x≥0)，g(x)＝2 (x≥0)．（2）①8．25(萬元)．②當A、B兩種產品分別投入2萬元、16萬元時，可使該企業獲得最大利潤8．5萬元．

試題分析：(1) 設甲、乙兩種產品分別投資x萬元(x≥0)，所獲利潤分別為f(x)、g(x)萬元，由題意可設    f(x)＝k₁x，  g(x)＝k₂，
∴根據圖象可解得f(x)＝0．25x (x≥0)，  g(x)＝2 (x≥0)．
(2)由(1)得f(9)＝2．25，g(9)＝2＝6，
∴總利潤y＝8．25(萬元)．
② 設B產品投入x萬元，A產品投入(18－x)萬元，企業可獲總利潤
為y萬元，   則y＝(18－x)＋2，0≤x≤18．
令＝t，t∈[0,3]，
則y＝(－t²＋8t＋18)＝－(t－4)²＋．
∴當t＝4時，y_max＝＝8．5，此時x＝16,18－x＝2．
∴當A、B兩種產品分別投入2萬元、16萬元時，可使該企業獲得最大利潤8．5萬元．
點評：研究數學模型，建立數學模型，進而借鑒數學模型，對提高解決實際問題的能力，以及提高數學素養都是十分重要的．建立模型的步驟可分為： (1) 分析問題中哪些是變量，哪些是常量，分別用字母表示； (2) 根據所給條件，運用數學知識，確定等量關系； (3) 寫出的解析式并指明定義域。