Question

(本題滿分18分)本題共有3個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分．
已知函數．
(1) 試說明函數的圖像是由函數的圖像經過怎樣的變換得到的；
(2) (理科)若函數，試判斷函數的奇偶性，并用反證法證明函數的最小正周期是；
(3) 求函數的單調區間和值域．

Answer 1

解(1)∵
，     
∴．
∴函數的圖像可由的圖像按如下方式變換得到：
①將函數的圖像向右平移個單位，得到函數的圖像；
②將函數的圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，得到函數的圖像；
③將函數的圖像上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)，得到函數的圖像．
(2)(理科)由(1)知，，
　∴．
又對任意，有，
　∴函數是偶函數．
　∵，
∴是周期函數，是它的一個周期．
現用反證法證明是函數的最小正周期。
反證法：假設不是函數的最小正周期，設是的最小正周期．
則，即．
令，得，兩邊平方后化簡，得，這與()矛盾．因此，假設不成立．
所以，函數的最小正周期是．
(3)(理科)先求函數在一個周期內的單調區間和函數值的取值范圍。
當時，，且．
易知，此時函數的單調增區間是，單調減區間是；
函數的取值范圍是．
因此，依據周期函數的性質，可知函數的單調增區間是
；單調減區間是；
函數的值域是．

橫坐標先放縮，再平移也可．即將函數的圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，得到函數，再將函數的圖像向右平移個單位，得到函數的圖像，最后將函數的圖像上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變)，得到函數的圖像．