Question

設二次函數滿足條件：①當時，，且；② 在上的最小值為。（1）求的值及的解析式；（2）若在上是單調函數，求的取值范圍；（3）求最大值，使得存在，只要，就有。

Answer 1

(1) ∵在上恒成立，∴
即……………（1分）
∵，∴函數圖象關于直線對稱，
∴……………（2分）
∵，∴
又∵在上的最小值為，∴，即，……………（3分）
由解得，∴；……………（4分）
（2）∵，
∴對稱軸方程為，……………（5分）
∵在上是單調函數，∴或，……………（7分）
∴的取值范圍是或或。……………（8分）
（3）∵當時， 恒成立，∴且，
由得，解得……………（9分）
由得：，
解得，……………（10分）
∵，∴，……………（11分）
當時，對于任意，恒有，
∴的最大值為.……………（12分）
另解：且
在上恒成立
∵在上遞減，∴，
∵在上遞減，∴
∴，∴，，∵，∴，
∴，∴的最大值為

略