Question

已知函數f(x)=

3x (x≥0) log3(-x) (x＜0)

，函數g（x）=f²（x）+f（x）+t（t∈R）．關于g（x）的零點，下列判斷不正確的是（　　）

• A．若t=

  1

  4

  ，g(x)有一個零點
• B．若-2＜t＜

  1

  4

  ，g(x)有兩個零點
• C．若t=-2，g（x）有三個零點
• D．若t＜-2，g（x）有四個零點

Answer 1

分析：由已知中函數f(x)=

3x (x≥0) log3(-x) (x＜0)

的解析式，畫出函數f（x）的圖象，令m=f（x），可得m≥1時，m=f（x）有兩根，m＜1時，m=f（x）有一根，根據二次函數的圖象和性質分析t取不同值時，g（x）=m²+m+t根的個數及分面情況，綜合討論結果，可得答案．

解答：解：函數f(x)=

3x (x≥0) log3(-x) (x＜0)

的圖象如下圖所示：

令m=f（x），m≥1時，m=f（x）有兩根，m＜1時，m=f（x）有一根，
若t=

1

4

，則g（x）=f²（x）+f（x）+

1

4

=[m+

1

2

]²=0
此時m=

1

2

，由上圖可得，此時函數m=0有一個根，
即g（x）有一個零點，故A正確；
若t=-2，則g（x）=f²（x）+f（x）-2=（m+2）•（m-1）=0
此時m=-2，m=1，此時g（x）=0有三個根，
即g（x）有三個零點，故C正確；
若-2＜t＜

1

4

，則g（x）=m²+m+t=0有兩個根，但均小于1
此時，g（x）=0有兩個根，故B正確；
若t＜-2，則g（x）=m²+m+t=0有兩個根，一個大于1，一個小于1
此時，g（x）=0有三個根，故D錯誤；
故選D

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，函數解析式的求解及常用方法，其中畫出函數f（x）的圖象，熟練掌握二次函數的圖象和性質是解答的關鍵．