Question

已知函數在上的最大值為
求數列的通項公式；
求證：對任何正整數，都有；
設數列的前項和，求證：對任何正整數，都有成立

Answer 1

（1）；（2）證明過程見解析；（3）證明過程見解析.

試題分析：（1）判斷在上單調遞增，在上單調遞減，在處取得最大值，即可求得數列的通項公式；
（2）當時，欲證 ，只需證明， 
（3）利用（2）的結論得，再由對其進行放縮得：
，可得證.
（1）
             
當時，由知：   
                 
∵時，；時，；
∴在上單調遞增，在上單調遞減，
∴在處取得最大值，
即.   
（2）當時，欲證 ，
只需證明            
∵
.     
所以，當時，都有成立．
（3）

所以，對任意正整數，都有成立.