Question

已知等比數列的公比為，是的前項和．
（1）若，，求的值；
（2）若，，有無最值？并說明理由；
（3）設，若首項和都是正整數，滿足不等式：，且對于任意正整數有成立，問：這樣的數列有幾個？

Answer 1

（1）;（2）有最大值為，最小值為;（3）個． 

試題分析：（1）根據等比數列前項和公式，可見要對分類討論，當時，，，，從而不難求出;當時，，，，即可利用根據定義求出;（2）根據題意可求出數列的前項和，要求出的最值，可見要分和兩種情況進行討論，當時利用單調性即可求出的最值情況，當時，由于將隨著的奇偶性正負相間，故又要再次以的奇偶數進行討論，再利用各自的單調性即可求出的最值; （3）首先由含有的絕對值不等式可求出的范圍，再用表示出，由單調性不難求出的最小值，即，故并分別代入進行，依據就可求出的范圍，最后結合是正整數，從而確定出的個數．
試題解析：（1）當時，，，                     2分
當時，，，               4分
所以（可以寫成；
（2）若，，則，
當時，，所以隨的增大而增大，
而，此時有最小值為1，但無最大值．         6分
當時，
①時，，所以隨的增大而增大，
即是偶數時，，即：；       8分
②時，，
即：，所以隨的增大而減小，
即是奇數時，，即：；
由①②得：，有最大值為，最小值為．        10分
（3）由得，所以，                  11分
，隨著的增大而增大，故，
即：，，得．                   13分
當時，
，
又，得共有個；                       15分
當時，
 
又，得共有個；                       17分
由此得：共有個．                               18分