Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（c＞0）的導函數的圖象如圖所示：
（1）求a，b；
（2）令g（x）=

f(x)

x

，求y=g（x）在[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）先求出f′（x）=2ax+b，根據圖象可得f′（x）=2x+1，由此可得a，b的方程組；
（2）由（1）先求出g（x），從而可得g′（x）=

(x+ c )(x- c )

x2

，分

c

≤1，1＜

c

＜2，

c

≥2三種情況進行討論，根據導數符號與單調性的關系可得最大值；

解答：解：（1）因為f′（x）=2ax+b，由圖可知，f′（x）=2x+1，
由

2a=2 b=1

，解得

a=1 b=1

，
（2）g（x）=

f(x)

x

=

x2+x+c

x

=x+

c

x

+1，則g′（x）=1-

c

x2

=

(x+ c )(x- c )

x2

，
①若

c

≤1，即0＜c≤1時，g′（x）≥0，g（x）在[1，2]上遞增，
故g（x）_max=g（2）=

1

2

c+3；
②若1＜

c

＜2，即1＜c＜4，
當1≤x＜

c

時，g′（x）＜0，此時g（x）單調遞減；當

c

＜x≤2時，g′（x）＞0，此時g（x）單調遞增；
又g（1）=c+2，g（2）=

1

2

c+3，
所以當1≤c≤2時，g（1）≤g（2），即g（x）_max=g（2）=

1

2

c+3；
當2＜x≤4時，g（1）＞g（2），即g（x）_max=g（1）=c+2；
③若

c

≥2，即c≥4時，g′（x）≤0，g（x）在[1，2]上單調遞減，
故g（x）_max=g（1）=c+2；
綜上所述，g(x)max=

1 2 c+3，0＜c≤2 c+2，c＞2

；

點評：本題考查利用導數研究函數在閉區間上的最值、函數解析式的求法，考分類討論思想，屬中檔題．