Question

（2004•朝陽區一模）設z₁，z₂是兩個非零復數，且|z₁+z₂|=|z₁-z₂|；設復數z=z₁+z₂，在復平面內與復數z、z₁、z₂對應的向量分別為

OZ

、

OZ1

、

OZ2

．
（Ⅰ）在復平面內畫出向量

OZ

、

OZ1

、

OZ2

，并說出以O、Z₁、Z、Z₂為頂點的四邊形的名稱；
（Ⅱ）求證：(

z1

z2

)2是負實數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由兩個非零復數滿足|z₁+z₂|=|z₁-z₂|，說明以向量

OZ1

，

OZ2

為鄰邊的四邊形是矩形，又復數z=z₁+z₂，由向量假發的三角形法則可得復數z對應的向量

OZ

；
（Ⅱ）把給出的等式兩邊同時除以復數z₂，然后利用其幾何意義得到

z1

z2

是純虛數，則結果得到證明．

解答：解：（Ⅰ）圖形如圖，

所畫圖形是矩形．
（Ⅱ）證明：由|z₁+z₂|=|z₁-z₂|，∵z₁、z₂不等于零，得|

z1

z2

+1|=|

z1

z2

-1|，
它表示復數

z1

z2

在復平面上對應的點，到點（-1，0），（1，0）的距離相等，
∴

z1

z2

對應的點是復平面虛軸上的點．
∴

z1

z2

是純虛數．
∴(

z1

z2

)2是負實數．

點評：本題考查了復數代數形式的混合運算，考查了復數的代數表示法及其幾何意義，解答的關鍵是對基本概念的理解，是基礎題．