Question

（本題12分）
提高過立交橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況．在一般情況下，成都某立交橋上的車流速度（單位：千米/小時）是車流密度（單位：輛/千米）的函數．當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時．研究表明：當時，車流速度是車流密度的一次函數．
（Ⅰ）當時，求函數的表達式；
（Ⅱ）當車流密度為多大時，車流量（單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時）可以達到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時）

Answer 1

（Ⅰ）=
（Ⅱ）當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時

解析試題分析：（1）分析題意，設出函數關系式，代值得到解析式。
（2）在第一問的基礎上得到車流量的函數，進而結合分段函數的值域來的得到結論。
解析：（Ⅰ）由題意：當時，；當時，設，顯然在是減函數，由已知得，解得
故函數的表達式為=
（Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得
當時，為增函數，故當時，其最大值為；
當時，，
當且僅當，即時，等號成立．
所以，當時，在區間上取得最大值．
綜上，當時，在區間上取得最大值，
即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3333輛/小時
考點：本題主要考查運用待定系數法求解函數的解析式，以及二次函數的最值的問題的運用。
點評：解決該試題的關鍵是理解題意，得到關于函數的關系式，注意自變量在實際中的限定，結合二次函數的性質得到函數的最值。