Question

某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設該小艇沿直線方向以v海里/時的航行速度勻速行駛，經過t小時與輪船相遇．

(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？

(2)假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/時，試設計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由．

 

Answer 1

（1）30海里/時（2）航行方向為北偏東30°，航行速度為30海里/時，小艇能以最短時間與輪船相遇．

【解析】(1)設相遇時小艇航行的距離為S海里，則S＝

.

故當t＝時，Smin＝10海里，此時v＝＝30海里/時．

即小艇以30海里/時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小．

(2)設小艇與輪船在B處相遇，

則v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v2＝900－.

∵0＜v≤30，

∴900－≤900，即≤0，解得t≥.

又t＝時，v＝30海里/時．故v＝30海里/時時，t取得最小值，且最小值等于.

此時，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20海里，故可設計航行方案如下：航行方向為北偏東30°，航行速度為30海里/時，小艇能以最短時間與輪船相遇．