Question

函數y=f（x）的定義域D={x|x∈R，且x≠0}，對定義域D內任意兩個實數x₁，x₂，都有f（x₁）+f（x₂）=f（x₁x₂）成立．
（1）求f（-1）的值并證明y=f（x）為偶函數；
（2）若f（-4）=4，記 an=(-1)n•f(2n)

&(n∈N，n≥1)

，求數列{a_n}的前2009項的和S₂₀₀₉；
（3）（理） 若x＞1時，f（x）＜0，且不等式f(

x2+y2

)≤f(

xy

)+f(a)對任意正實數x，y恒成立，求非零實數a的取值范圍．
（4）（文） 若x＞1時，f（x）＜0，解關于x的不等式 f（x-3）≥0．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法求f（-1）的值，利用偶函數的定義判斷函數為偶函數；
（2）先根據f（n）求數列{a_n}的通項，進而可求數列{a_n}的前2009項的和S₂₀₀₉；
 （3）先說明f（x）＞0（0＜x＜1）
（理）f(

x2+y2

)≤f(

xy

)+f(a)等價于f(

x2+y2

a xy

)≤0，進而有|a|≤

x2+y2

xy

恒成立，利用基本不等式有

x2+y2

xy

≥

2

，從而0＜|a|≤

2

…（18分）
（4）（文）根據函數為偶函數即f（x-3）≥0，可有0＜|x-3|≤1，從而可解不等式．

解答：解：（1）賦值得f（1）=f（-1）=0，…（2分）
∵f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x）
∴函數為偶函數              …（4分）
（2）f（-4）=4得f（2）=2，f（2ⁿ）=f（2^n-1）+f（2）
∴f（2ⁿ）=2n…（8分）
∴a_n=2•（-1）ⁿn，
∴S₂₀₀₉=-2010…（10分）
（3）設 0＜x＜1，則

1

x

＞1，0=f(1)=f(x)+f(

1

x

)，得f（x）＞0（0＜x＜1）…（14分）
（理）f(

x2+y2

)≤f(

xy

)+f(a)得f(

x2+y2

a xy

)≤0?

x2+y2

|a| xy

≥1|a|≤

x2+y2

xy

恒成立，
又

x2+y2

xy

≥

2

，從而0＜|a|≤

2

…（18分）
（4）（文）f（x-3）≥0?0＜|x-3|≤1?2≤x＜3或3＜x≤4…（18分）

點評：本題的考點是函數恒成立問題，主要考查合適的形式，考查數列與函數的關系，考查恒成立問題，關鍵是分離參數，利用最值法求解．