Question

已知橢圓E：（a>b>0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，點P是x軸上方橢圓E上的一點，且PF₁⊥F₁F₂，。
（1）求橢圓E的方程和P點的坐標；
（2）判斷以PF₂為直徑的圓與以橢圓E的長軸為直徑的圓的位置關系；
（3）若點G是橢圓C：（m>n>0）上的任意一點，F是橢圓C的一個焦點，探究以GF為直徑的圓與以橢圓C的長軸為直徑的圓的位置關系。

Answer 1

解：（1）∵P在橢圓E上，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=4，a=2
∵PF₁⊥F₁F₂，
∴ |F₁F₂|²=|PF₂|²-|PF₁|²=
2c=2，c=1，
∴b²=3
所以橢圓E的方程是
∵F₁（-1，0），F₂（1，0），
∵PF₁⊥F₁F₂，
∴。
（2）線段PF₂的中點
∴以為圓心，PF₂為直徑的圓M的方程為

圓M的半徑
以橢圓E的長軸為直徑的圓的方程為：x²+y²=4，圓心為O（0，0），半徑為R=2，
圓M與圓O的圓心距為
所以兩圓相內切。
（3）以GF為直徑的圓與以橢圓C的長軸為直徑的圓相內切，
設F′
是橢圓C的另一個焦點，其長軸長為2m（m>0），
∵點G是橢圓C上的任意一點，F是橢圓C的一個焦點，
則有|GF|+|CF'|=2m，
則以GF為直徑的圓的圓心是M，圓M的半徑為，
以橢圓C的長軸為直徑的圓O的半徑R=m，
兩圓圓心O，M分別是FF'和FG的中點，
∴兩圓心間的距離R-r
所以兩圓內切。