Question

如圖所示，O是線段AB的中點，|AB|＝2c，以點A為圓心，2a為半徑作一圓，其中。

（1）若圓A外的動點P到B的距離等于它到圓周的最短距離，建立適當坐標系，求動點P的軌跡方程，并說明軌跡是何種曲線；
（2）經過點O的直線l與直線AB成60°角，當c＝2，a＝1時，動點P的軌跡記為E，設過點B的直線m交曲線E于M、N兩點，且點M在直線AB的上方，求點M到直線l的距離d的取值范圍。

Answer 1

軌跡方程為：。
（2）

（1）以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，則A（－c，0），B（c，0）
依題意：
∴點P的軌跡為以A、B為焦點，實半軸為a，虛半軸為的雙曲線右支
∴軌跡方程為：。
（2）法一：設M（，），N（，）
依題意知曲線E的方程為
，l的方程為
設直線m的方程為
由方程組，消去y得
                   ①
∴
∵直線與雙曲線右支交于不同的兩點
∴及，從而
由①得
解得且
當x＝2時，直線m垂直于x軸，符合條件，∴
又設M到l的距離為d，則
∵
∴
設，
由于函數與均為區間的增函數
∴在單調遞減
∴的最大值＝
又∵
而M的橫坐標，∴
法二：為一條漸近線
①m位于時，m在無窮遠，此時
②m位于時，，d較大
由
點M 
∴
故