Question

本小題滿分12分）
如圖點為雙曲線的左焦點，左準線交軸于點，點P是上的一點，且線段PF的中點在雙曲線的左支上.
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）若過點的直線與雙曲線的左右兩支分別交于、兩點，設，當時，求直線的斜率的取值范圍.

Answer 1

解：（Ⅰ）設雙曲線方程為（，），
則，，∴．------------------------（2分）
又在雙曲線上，∴．
聯立①②③，解得，．∴雙曲線方程為．--------（4分）
注：對點M用第二定義，得，可簡化計算．
（Ⅱ），設，，m：，則
由，得，．--------------------（6分）
由，得．
∴，．．
由，，，---------------------（8分）
消去，，
得．------------------------（9分）
∵，函數在上單調遞增，
∴，∴．------------------------（10分）
又直線m與雙曲線的兩支相交，即方程兩根同號，
∴．------------------------------------------------（11分）
∴，故．------------------------（12分）

略