已知橢圓
過點
，橢圓
左右焦點分別為
，上頂點為
，
為等邊三角形.定義橢圓C上的點
的“伴隨點”為
.
（1）求橢圓C的方程；
（2）求
的最大值；
（3）直線l交橢圓C于A、B兩點,若點A、B的“伴隨點”分別是P、Q,且以PQ為直徑的圓經過坐標原點O.橢圓C的右頂點為D，試探究ΔOAB的面積與ΔODE的面積的大小關系,并證明.
（1）
（2）
（3）
的面積是定值
解析試題分析：解：（1）由已知
，解得
,方程為.4分
（2）當
時，顯然
，由橢圓對稱性，只研究
即可，
設
（
），于是
5分
（當且僅當
時取等號） 8分
（3） 設
,則
;
1)當直線
的斜率存在時,設方程為
,
由
得: 
；
有
① 10分
由以
為直徑的圓經過坐標原點O可得: 
；
整理得: 
②
將①式代入②式得: 
, 12分 
又點
到直線的距離
=
=
=
所以
14分
2) 當直線的斜率不存在時,設方程為
聯立橢圓方程得: 
；
代入得
；
,
綜上: 的面積是定值
又
的面積也為,所以二者相等. 16分
考點：橢圓的方程與性質
點評：主要是考查了直線與橢圓的位置關系的運用，屬于中檔題。
黎明文化寒假作業系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知中心在原點的橢圓C：
的一個焦點為
，
為橢圓C上一點，
的面積為
．
(1)求橢圓C的方程；
(2)是否存在平行于OM的直線
，使得直線與橢圓C相交于A，B兩點，且以線段AB為直徑的圓恰好經過原點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知動點
到點
的距離與到直線
的距離之比為定值
，記的軌跡為
．
（1）求的方程，并畫出的簡圖；
（2）點
是圓
上第一象限內的任意一點，過作圓的切線交軌跡于
，
兩點．
（i）證明：
；
（ii）求
的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知中心在坐標原點焦點在
軸上的橢圓C,其長軸長等于4,離心率為
．
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)若點
(0,1), 問是否存在直線
與橢圓
交于
兩點,且
？若存在,求出
的取值范圍,若不存在,請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
的焦點為F2，點F1與F2關于坐標原點對稱，直線m垂直于
軸（垂足為T），與拋物線交于不同的兩點P、Q，且
.
（Ⅰ）求點T的橫坐標
；
（Ⅱ）若橢圓C以F1,F2為焦點，且F1,F2及橢圓短軸的一個端點圍成的三角形面積為1.
① 求橢圓C的標準方程；
② 過點F2作直線l與橢圓C交于A,B兩點，設
，若
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的左焦點F為圓
的圓心，且橢圓上的點到點F的距離最小值為
。
（I）求橢圓方程；
（II）已知經過點F的動直線
與橢圓交于不同的兩點A、B，點M（
），證明：
為定值。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在直角坐標平面內，以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.已知曲線
的參數方程為
，曲線
的極坐標方程為
．
（Ⅰ）將曲線的參數方程化為普通方程；
（Ⅱ）判斷曲線與曲線的交點個數，并說明理由．
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（
＞0）的頂點作兩條互相垂直的弦OA、OB。
，直線
截拋物線C所得弦長為
.
是拋物線上異于原點
的兩個動點，記
若
試求當
取得最小值時
的最大值.