Question

在數列中，已知，，(，)．
（1）當，時，分別求的值，判斷是否為定值，并給出證明；
（2）求出所有的正整數，使得為完全平方數．

Answer 1

（1）()．（2）當時，滿足條件.

試題分析：（1）第一步是歸納，分別進行計算. 由已知得，．所以時，；當時，．第二步猜想，()．第三步證明，本題可用數學歸納法證，也可證等式恒成立，（2）探求整數解問題，一般要構造一個可說明的整式. 設，則，又，且501=1501=3167，故 或所以 或
由解得；由得無整數解．所以當時，滿足條件．
試題解析：（1）由已知得，．
所以時，；當時，．      2分
猜想：()．                                   3分
下面用數學歸納法證明：
①當時，結論成立．
②假設當時，結論成立，即，
將代入上式，可得．
則當時，
．
故當結論成立，
根據①,②可得，()成立．                        5分
（2）將代入，得，
則，，
設，則，
即，                                   7分
又，且501=1501=3167，
故 或
所以 或
由解得；由得無整數解．
所以當時，滿足條件．                                          10分