Question

已知圓C：x²+y²-10x-2y+10=0．
（Ⅰ）若過點（4，-2），傾斜角為135°的直線l與圓C交于A，B兩點，求AB的長；
（Ⅱ）求經過點M（1，-1），且與圓C相切于點N(

9

5

，-

7

5

)的圓的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化圓的一般方程為標準方程，求出圓的圓心坐標和半徑，寫出直線l的方程，由點到直線的距離公式求出弦心距，利用勾股定理求弦長；
（Ⅱ）設出圓的標準方程，由已知條件列關于圓心坐標和半徑的方程組，求解方程組得圓心坐標和半徑，則圓的方程可求．

解答：解：由圓C：x²+y²-10x-2y+10=0，得（x-5）²+（y-1）²=16，
∴圓C的圓心為（5，1），半徑為4．
（Ⅰ）過點（4，-2），傾斜角為135°的直線l方程為：x+y-2=0．
圓心（5，1）到直線x+y-2=0的距離為d=

|1×5+1×1-2|

2

=2

2

．
∴|AB|=2

16-(2 2 )2

=4

2

；
（Ⅱ）設所求圓的圓心坐標為（a，b），半徑為r，
則圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²．
∴

(1-a)2+(-1-b)2=r2 ( 9 5 -a)2+(- 7 5 -b)2=r2 1+ 7 5 5- 9 5 = b-1 a-5

，解得：

a=- 27 5 b=- 34 5 r2=81

．
∴經過點M（1，-1），且與圓C相切于點N(

9

5

，-

7

5

)的圓的方程為(x+

27

5

)2+(y+

34

5

)2=81．

點評：本題考查了直線與圓的位置關系，考查了圓與圓的位置關系，訓練了利用待定系數法求圓的方程，考查了計算能力，是中檔題．