Question

（2009•普陀區一模）如圖，已知圓C：x²+y²=r²與x軸負半軸的交點為A．由點A出發的射線l的斜率為k，且k為有理數．射線l與圓C相交于另一點B．
（1）當r=1時，試用k表示點B的坐標；
（2）當r=1時，試證明：點B一定是單位圓C上的有理點；（說明：坐標平面上，橫、縱坐標都為有理數的點為有理點．我們知道，一個有理數可以表示為

q

p

，其中p、q均為整數且p、q互質）
（3）定義：實半軸長a、虛半軸長b和半焦距c都是正整數的雙曲線為“整勾股雙曲線”．
當0＜k＜1時，是否能構造“整勾股雙曲線”，它的實半軸長、虛半軸長和半焦距的長恰可由點B的橫坐標、縱坐標和半徑r的數值構成？若能，請嘗試探索其構造方法；若不能，試簡述你的理由．

Answer 1

分析：（1）當r=1時，可知A點坐標，就可設出直線l的點斜式方程，代入圓方程，解出B點坐標．
（2）由（1）中求出的用k表示點B的坐標，來判斷，當k為有理數時，點B是否為有理點，當B為有理點時，k是否為有理數，證明中用到一個有理數可以表示為

q

p

，即若一個數是有理數，則這個數一定可以表示成

q

p

的形式，若一個數可以表示成

q

p

的形式，則這個數一定為有理數．
（3）先假設當0＜k＜1時，能構造“整勾股雙曲線”，它的實半軸長、虛半軸長和半焦距的長恰可由點B的橫坐標、縱坐標和半徑r的數值構成．由（2）中結論，可找到此雙曲線的實半軸長、虛半軸長和半焦距，都用含p，q，r的式子表示，其中，p，q，r均為整數，且p，q互質．據此求出k值，看是否為整數，若是，則假設成立，若不是，則假設不成立．

解答：解：（1）設點B的坐標為B（x₂，y₂）．由題意，點A的坐標為（-1，0），于是可設射線l的方程
為y=k（x+1），代入圓C的方程可得：x²+k²（x+1）²=1?（1+k²）x²+2k²x+（k²-1）=0．①
方程①中，一個解必為x=-1，則由根與系數關系可知點B的橫坐標為x2=

1-k2

1+k2

；代入直線方程可得y2=

2k

1+k2

．∴點B的坐標即為(

1-k2

1+k2

，

2k

1+k2

)．
（2）充分性：設射線l的斜率k=

q

p

（其中p、q均為整數且p、q互質），則由（1）可知x2=

1-( q p )2

1+( q p )2

=

p2-q2

p2+q2

，y2=

2( q p )

1+( q p )2

=

2pq

p2+q2

．因為p、q均為整數，所以x₂、y₂必為一個有理數，從而B點必為一個有理點．
必要性：若B點為有理點，則可設x2=

q1

p1

，y2=

q2

p2

（其中p₁、q₁、p₂、q₂均為整數且p₁和q₁互質、p₂和q₂互質）于是，k=

y2

x2+1

=

q2

p2

•

p1

p1+q1

，因為p₁、q₁、p₂、q₂均為整數，所以k必為一個有理數．
（3）設B點的坐標為（x₂，y₂）．當0＜k＜1時，B點必定落在第一象限的四分之一圓周上，即x₂＞0，y₂＞0．而由x₂²+y₂²=r²，所以B的橫坐標x₂、縱坐標y₂以及圓的半徑r必能構成某個雙曲線的一組實半軸長、虛半軸長和半焦距的數據．由（2）結論可知，此時點B的坐標應為

x2= |p2-q2 p2+q2 •r y2= 2pq p2+q2 •r

其中p、q此時均為正整數且p、q互質．
于是，只要構造圓半徑r=（p²+q²）•m（其中m為正整數）時，則會有x₂=|p²-q²|•m，y₂=2pq•m，它們都為正整數，且滿足x₂²+y₂²=r²．
因此，對于斜率為k=

q

p

（其中p、q均為整數，p＞q＞0且p、q互質）的斜線l，只需確定圓的半徑滿足r=（p²+q²）•m（其中m為正整數），則必定能構造“整勾股雙曲線”滿足題意．
特別地，因為當x₂=y₂時，點B坐標必為(

2

2

r，

2

2

r)，而此時射線l的斜率為k=

y2

x2+r

=

2

-1，不是有理數．∴構造出的雙曲線一定不是等軸雙曲線，即由x₂≠y₂，可構造的“整勾股雙曲線”的實半軸長、虛半軸長和半焦距長可由

a=x2 b=y2 c=r

和

a=y2 b=x2 c=r

構成，且個數一定為偶數個．

點評：本題主要考查了直線與圓位置關系、沖要條件的證明，以及理解能力、推理能力，解題時要認真理解題意，仔細運算，本題有較大的思維量和運算量