Question

設(shè)實數(shù)，整數(shù)，.
（1）證明：當且時，；
（2）數(shù)列滿足，，證明：.

Answer 1

（1）證明：當且時，；（2）.

解析試題分析：（1）證明原不等式成立，可以用數(shù)學歸納法，當時，當，由成立.得出當時，
，綜合以上當且時，對一切整數(shù)，不等式均成立.（2）可以有兩種方法證明：第一種方法，先用數(shù)學歸納法證明.其中要利用到當時，.當得.由（1）中的結(jié)論得.因此，即.所以時，不等式也成立.綜合①②可得，對一切正整數(shù)，不等式均成立.再證由可得，即.第二種方法，構(gòu)造函數(shù)設(shè)，則，并且
.由此可得，在上單調(diào)遞增，因而，當時，.再利用數(shù)學歸納法證明.
（1）證明：用數(shù)學歸納法證明
①當時，，原不等式成立.
②假設(shè)時，不等式成立.
當時，
所以時，原不等式也成立.
綜合①②可得，當且時，對一切整數(shù)，不等式均成立.
證法1：先用數(shù)學歸納法證明.
①當時，由題設(shè)知成立.②假設(shè)時，不等式成立.
由易知.
當時，.
當得.
由（1）中的結(jié)論得.
因此，即.所以時，不等式